LỜI TỰA

Có một thế giới bí mật ngoài kia. Một vũ trụ song song đẹp đẽ và thanh nhã còn ẩn giấu, đan bện phức tạp với thế giới của chúng ta. Đó là thế giới toán học. Và nó vô hình với hầu hết mọi người. Cuốn sách này là lời mời gọi các bạn đến khám phá thế giới ấy.

Ta hãy thử xét nghịch lý sau: một mặt, toán học đan bện vào chính kết cấu đời sống thường ngày của chúng ta. Mỗi khi chúng ta thực hiện một giao dịch trực tuyến, gửi một tin nhắn, thực hiện thao tác tìm kiếm trên Internet, hay sử dụng một dụng cụ GPS, thì trong đó đều có sự tham gia của các công thức và thuật toán toán học. Nhưng mặt khác, toán học lại làm hầu hết mọi người sợ hãi: Theo lời nhà thơ Hans Magnus Enzensberger thì nó đã trở thành “một điểm mù trong nền văn hóa của chúng ta - một lãnh thổ xa lạ, mà chỉ có giới trí thức tinh hoa, một thiểu số người được khai sáng mới quyết định dấn thân vào”. Rất hiếm khi, ông nói, chúng ta “gặp được một người khẳng định quyết liệt rằng chỉ cần nghĩ tới việc đọc một cuốn tiểu thuyết, hay ngắm một bức tranh hoặc xem một bộ phim là anh ta đã cảm thấy đau khổ vật vã”, nhưng “cả những người có học vấn và hiểu biết” cũng nói một cách “vừa thách thức vừa kiêu hãnh” rằng toán học là “sự tra tấn thực sự”, hay một “cơn ác mộng” khiến họ “mất hứng thú”.

Sao lại có chuyện dị thường như vậy được? Tôi thấy có hai lý do chính. Trước tiên, toán học trừu tượng hơn các ngành khoa học khác, do vậy mà không dễ tiếp cận bằng. Tiếp đó, những gì chúng ta học trong trường phổ thông chỉ là một phần rất nhỏ của toán học, mà phần lớn đã được khám phá từ cả thiên niên kỷ trước. Toán học đã tiến bộ vượt bậc kể từ đó, nhưmg những kho báu của toán học hiện đại vẫn bị giấu kín đối với hầu hết chúng ta.

Điều gì sẽ xảy ra nếu ở trường bạn phải học môn “hội họa” mà bạn chỉ được dạy cách sơn hàng rào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn không bao giờ được giới thiệu các bức họa của Leonardo da Vinci và Picasso? Làm thế có giúp cho bạn hiểu rõ được giá trị của hội họa không? Có khiến bạn muốn học thêm về nó không? Tôi e là không. Có lẽ bạn sẽ nói điều gì đó đại loại thế này: “Học vẽ ở trường chỉ phí phạm thời gian. Nếu cần phải sơn hàng rào thì tôi sẽ thuê người làm giúp.” Dĩ nhiên, điều này nghe thật nực cười, nhưng đó là cách mà toán học vẫn được giảng dạy, và do đó trong mắt hầu hết mọi người, việc học toán trở nên thật buồn tẻ. Trong khi những bức tranh của các bậc thầy vĩ đại đều dễ dàng kiếm được, thì toán học của các bậc thầy vĩ đại lại bị giấu biệt đi.

Tuy nhiên, toán học quyến rũ không chỉ vì vẻ đẹp thẩm mỹ của nó. Như câu nói nổi tiếng của Galileo: “Các định luật của Tự nhiên được viết bằng ngôn ngữ toán học.” Toán học là một phương pháp mô tả thực tại và hình dung ra thế giới vận hành như thế nào, một ngôn ngữ phổ quát đã trở thành tiêu chuẩn vàng của chân lý. Trong thế giới của chúng ta, ngày càng dựa nhiều vào khoa học và công nghệ, hơn bao giờ hết, toán học đã trở thành nguồn gốc của sức mạnh, sự thịnh vượng và tiến bộ. Do đó, những ai sử dụng trôi chảy thứ ngôn ngữ mới này sẽ đứng ở tuyến đầu của sự tiến bộ.

Một trong những quan niệm sai lầm thường thấy về toán học, đó là nó chỉ có thể được sử dụng như một “công cụ”: chẳng hạn, một nhà sinh học tiến hành nghiên cứu trên thực địa, thu thập dữ liệu, và sau đó là xây dựng một mô hình toán học phù hợp với những dữ liệu ấy (có lẽ với sự giúp đỡ của một nhà toán học nào đó). Cho dù đây là một thao tác quan trọng, nhưng toán học còn có thể cung cấp cho ta thêm nhiều điều hơn nữa: nó giúp tạo ra những bước nhảy vọt cách tân và đột phá mà chúng ta không thể làm bằng cách nào khác. Chẳng hạn, Einstein đã không cố ghép bất kỳ dữ liệu nào vào các phương trình khi ông hiểu rằng hấp dẫn làm không gian bị uốn cong. Thực tế, chẳng có dữ liệu nào như thế cả. Ở thời điểm đó, không ai có thể tưởng tượng được rằng vũ trụ bị uốn cong; tất cả mọi người đều “biết” rằng vũ trụ là phẳng! Nhưng Einstein hiểu rằng đó là cách duy nhất để mở rộng lý thuyết tương đối hẹp của ông cho cả những hệ quy chiếu không quán tính, đi đôi với nhận thức sâu sắc của ông rằng hấp dẫn và gia tốc có cùng tác dụng. Đó là một thao tác trí tuệ trình độ cao trong địa hạt toán học, mà ở đó Einstein đã phải dựa trên công trình của một nhà toán học, Bernhard Riemann, được hoàn thiện 50 năm trước đó: Cấu trúc não bộ của con người không cho phép chúng ta hình dung được những không gian cong có nhiều hơn hai chiều; chúng ta chỉ có thể tiếp cận chúng qua toán học. Và hãy thử đoán xem, Einstein nói đúng - vũ trụ của chúng ta đúng là cong, và hơn thế, nó đang giãn nở. Đó chính là sức mạnh của toán học mà tôi đang nói tới đấy!

Có thể tìm thấy nhiều ví dụ như thế này, không chỉ riêng trong vật lý, mà trong cả những lĩnh vực khoa học khác nữa (chúng ta sẽ bàn về một số lĩnh vực đó dưới đây). Lịch sử cho thấy rằng khoa học và công nghệ được thay da đổi thịt với tốc độ nhanh chóng nhờ những ý tưởng toán học; thậm chí cả những lý thuyết toán học vốn được coi là trừu tượng và bí truyền sau này cũng trở thành thiết yếu cho những ứng dụng. Charles Darwin, công trình của ông vốn ban đầu không dựa trên toán học, sau này đã viết trong tự truyện rằng: “Tôi cảm thấy hối hận sâu sắc vì đã không đi đủ xa để ít nhất có thể hiểu được chút ít những nguyên lý tiên phong vĩ đại của toán học, những người được phú cho khả năng toán học dường như có thêm một giác quan nữa vậy.” Tôi coi đây như một lời khuyên tiên tri cho những thế hệ sau này rằng hãy biết lợi dụng tiềm năng vô tận của toán học.

Khi tôi lớn lên, tôi vẫn chưa ý thức được thế giới ẩn giấu của toán học. Giống như hầu hết mọi người, tôi nghĩ rằng toán học là một môn học cũ rích, nhạt nhẽo. Nhưng tôi đã gặp may: trong năm cuối cùng ở trường phổ thông, tôi đã gặp một chuyên gia toán học - người đã mở cho tôi cánh cửa vào thế giới diệu kỳ ấy. Tôi học được rằng toán học có đủ các khả năng vô hạn cùng vẻ đẹp và sự thanh nhã, cũng giống như thơ ca, hội họa và âm nhạc. Và tôi đã bắt đầu yêu nó.

Các độc giả yêu quý, với cuốn sách này, tôi mong muốn mang tới cho các bạn điều mà những người thầy và cố vấn của tôi đã mang lại cho tôi: lật mở sức mạnh và vẻ đẹp của toán học, giúp các bạn bước vào thế giới kỳ diệu ấy theo cách mà tôi đã bước vào, ngay cả khi các bạn thuộc mẫu người chưa từng dùng hai từ “toán học” và “tình yêu” trong cùng một câu. Toán học sẽ đeo đẳng bạn như nó đã làm với tôi, và thế giới quan của bạn sẽ không bao giờ còn như cũ.

°°°

Tri thức toán học không giống với bất kỳ loại tri thức nào khác. Trong khi nhận thức của chúng ta về thế giới vật lý luôn có thể bị bóp méo, thì nhận thức về chân lý toán học lại không thế. Đấy là những chân lý khách quan, tất yếu, và bền vững. Một công thức hay định lý toán học luôn được hiểu như nhau đối với bất kỳ ai ở bất cứ đâu - bất kể giới tính, tôn giáo hay màu da; và nó vẫn được hiểu như thế đối với bất kỳ ai ở tương lai một nghìn năm sau nữa. Điều kỳ lạ là chúng ta sở hữu tất cả những kiến thức đó. Không ai có thể lấy bằng độc quyền cho một công thức toán học, nó là của chung để chúng ta chia sẻ. Không có gì trên thế giới này sâu sắc và thanh nhã nhưng lại dành sẵn cho tất cả mọi người như thế. Một kho tàng tri thức như vậy mà lại thực sự tồn tại là điều gần như không thể tin được. Nó quá quý giá đến mức không thể chỉ ban tặng cho “thiểu số người được khai sáng”. Nó thuộc về tất cả chúng ta.

Một trong những chức năng chính yếu của toán học là sắp xếp trật tự thông tin. Đó là cái làm nên sự khác biệt giữa những nhát cọ của Van Gogh với một giọt sơn thuần túy. Với sự phát triển của công nghệ in 3D (ba chiều), thực tại quen thuộc của chúng ta đang trải qua một sự biến đổi triệt để: mọi thứ đang di chuyển từ các đối tượng vật lý sang các thông tin và dữ liệu. Rồi chúng ta sẽ có thể nhanh chóng chuyển đổi thông tin thành vật chất theo ý muốn bằng cách sử dụng máy in ba chiều dễ dàng như chuyển một file PDF thành quyển sách hay file MP3 thành bản nhạc. Trong thế giới công nghệ mới này, toán học thậm chí sẽ đóng vai trò trung tâm hơn nữa: nó vừa là cách tổ chức và sắp xếp trật tự thông tin, vừa là cách thúc đẩy chuyển đổi thông tin thành thực tại vật lý.

Trong cuốn sách này, tôi sẽ mô tả một trong những ý tưởng toán học lớn nhất xuất hiện trong vòng 50 năm trở lại đây: Chương trình Langlands, được nhiều người coi là Lý thuyết Thống nhất Lớn của toán học. Đó là một lý thuyết quyến rũ dệt nên một mạng lưới những mối liên kết đầy phấn khích giữa các phân ngành toán học mà mới nhìn qua thì tưởng như cách nhau hàng năm ánh sáng: đại số, hình học, lý thuyết số, giải tích và vật lý lượng tử. Nếu chúng ta coi những ngành này như những lục địa trong thế giới ẩn giấu của toán học, thì Chương trình Langlands chính là dụng cụ viễn tải lý tưởng, có khả năng đưa chúng ta ngay lập tức từ lục địa này sang lục địa khác, và quay trở về.

Được đề xuất vào cuối những năm 1960 bởi Robert Langlands, nhà toán học hiện đang giữ văn phòng vốn của Albert Einstein tại viện Nghiên cứu cao cấp thuộc Đại học Princeton, Chương trình Llanglands bắt nguồn từ một lý thuyết toán học có tính đột phá về đối xứng. Lý thuyết này đã được một thần đồng toán học Pháp, ngay trước khi bị giết trong một cuộc đấu súng ở tuổi hai mươi, đặt nền móng hai thế kỷ trước. Sau này nó đã được bổ trợ bởi một khám phá kinh ngạc khác, khám phá không chỉ chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat, mà còn cách mạng hóa tư duy của chúng ta về số học và phương trình. Và còn một nhận thức sâu sắc khác là toán học có phiến đá Rosetta riêng của nó, chứa đầy những loại suy và ẩn dụ bí ẩn. Đi theo những loại suy như thế, tựa như những nhánh sông nhỏ trong vùng đất toán học đầy quyến rũ, những ý tưởng của Chương trình Langlands tràn vào các địa hạt hình học và vật lý lượng tử, tạo ra trật tự và hài hòa từ những gì tưởng như hỗn độn.

Tôi muốn kể với bạn tất cả những điều trên nhằm giới thiệu các khía cạnh của toán học mà chúng ta hiếm khi nhìn thấy: nguồn cảm hứng dồi dào, những ý tưởng sâu sắc, và những phát kiến gây sửng sốt. Toán học là một phương cách phá vỡ những rào cản của tập quán, một biểu hiện của trí tưởng tượng vô biên trong công cuộc kiếm tìm chân lý. Georg Cantor, người sáng tạo ra lý thuyết vô hạn, đã viết: “Bản chất của toán học nằm ở sự tự do của nó.” Toán học dạy chúng ta phân tích thực tại một cách rốt ráo, nghiên cứu các dữ kiện, và đi theo chúng cho dù chúng dẫn tới đâu. Nó khai phóng chúng ta khỏi những giáo điều và định kiến, cũng như nuôi dưỡng năng lực đổi mới. Do vậy, toán học cung cấp cho ta những công cụ chứ không chỉ là chính bản thân nó.

Những công cụ này có thể được sử dụng cho cả mục đích tốt và xấu, buộc chúng ta phải tính tới những tác động của toán học đối với thế giới thực. Chẳng hạn, cuộc khủng hoảng kinh tế toàn cầu phần lớn là do đã sử dụng rộng rãi những mô hình toán học kém cỏi trong các thị trường tài chính. Hầu hết những người ra quyết định không hoàn toàn hiểu về các mô hình đó do họ thiếu hiểu biết về toán học, nhưng lại kiêu căng sử dụng chúng bằng mọi giá - do bị lòng tham thôi thúc - cho tới khi gần như phá nát toàn bộ hệ thống. Họ lợi dụng một cách bất minh việc tiếp cận thông tin nội bộ, và hy vọng rằng không bị ai lật tẩy vì những người khác chẳng ai tính đến chuyện hỏi xem các mô hình toán học đó vận hành như thế nào. Có lẽ, nếu có nhiều người hiểu được cách vận hành của những mô hình đó, cũng như hoạt động thực sự của hệ thống, thì chúng ta đã không bị lừa bịp lâu đến như vậy.

Ta hãy xét một ví dụ khác: năm 1996, một ban do chính phủ Mỹ chỉ định, đã bí mật thành lập và sửa đổi công thức Chỉ số giá tiêu dùng, thước đo lạm phát để xác định khung thuế, an sinh xã hội, chăm sóc y tế dành cho những người trên sáu lắm tuổi hoặc khuyết tật, và những chi trả có tính tới trượt giá khác. Hàng chục triệu người Mỹ đã phải hứng chịu hậu quả, nhưng chỉ có rất ít thảo luận công khai về công thức mới và những hệ lụy của nó. Và gần đây, lại có một cố gắng khác nhằm khai thác công thức bí ẩn này để lẻn vào phá hoại nền kinh tế Mỹ.

Trong một xã hội có hiểu biết về toán học thì những vụ làm ăn dấm dúi như thế sẽ ít hơn rất nhiều. Toán học thì bằng sự chặt chẽ cộng với tính nhất quán của tri thức nhân với độ tin cậy của chân lý. Tất cả chúng ta nên tiếp cận những kiến thức và công cụ toán học cần thiết để bảo vệ mình trước những quyết định tùy tiện do một số ít kẻ có quyền lực thực hiện trong một thế giới ngày càng được dẫn dắt bởi toán học này. Nơi nào không có toán học, nơi ấy không có tự do.

°°°

Toán học chiếm một phần quan trọng trong di sản văn hóa của chúng ta ngang với hội họa, văn chương, và âm nhạc. Loài người chúng ta luôn thèm khát khám phá những điều mới lạ, vươn tới những ý nghĩa mới, hiểu rõ hơn về vũ trụ và vị trí của chúng ta trong đó. Chao ôi, chúng ta không thể khám phá ra một lục địa mới như Columbus, hay là người đầu tiên đặt chân lên Mặt trăng. Nhưng nếu tôi nói rằng bạn không cần phải giong buồm vượt đại dương hay bay vào không gian mới có thể khám phá những kỳ quan của thế giới, thì sao? Các kỳ quan ấy ở ngay đây, đan bện vào thực tại hiện thời của chúng ta. Toán học chi phối dòng chảy của vũ trụ, ẩn náu đằng sau mọi hình dạng và đường cong, chi phối mọi thứ, từ những nguyên tử nhỏ bé tới những vì sao lớn nhất.

Cuốn sách này là một lời mời tới thăm cái thế giới phong phú và đầy ngạc nhiên đó. Tôi viết nó cho những độc giả không hề có bất kỳ nền tảng toán học nào. Nếu bạn nghĩ rằng toán học khó hiểu, rằng không thể lĩnh hội được nó và cảm thấy sợ hãi nó, nhưng đồng thời lại tò mò muốn xem ở đó có điều gì đáng để biết hay không - thì cuốn sách này chính là dành cho bạn.

Mọi người thường sai lầm cho rằng phải học toán nhiều năm mới có thể đánh giá đúng về nó. Một vài người thậm chí còn nghĩ rằng hầu hết mọi người bẩm sinh đều không có khả năng học toán. Tôi không đồng ý: phần lớn chúng ta đã từng nghe và chí ít có một hiểu biết sơ đẳng về những khái niệm như hệ mặt trời, các nguyên tử và hạt cơ bản, chuỗi xoắn kép ADN, và nhiều thứ khác nữa mà không hề theo học các lớp về vật lý hay sinh học. Và không ai ngạc nhiên rằng những ý tưởng phức tạp ấy là một phần trong nền văn hóa của chúng ta, trong ý thức tập thể của chúng ta. Giống như vậy, mọi người đều có thể hiểu được những khái niệm và ý tưởng then chốt của toán học, nếu chúng được diễn giải một cách đúng đắn. Để làm điều đó, chúng ta không cần thiết phải học toán trong nhiều năm ròng; và trong nhiều trường hợp chúng ta có thể đi tắt ngay đến điểm mình cần và nhảy qua những bước trung gian tẻ nhạt.

Vấn đề là ở chỗ: trong khi mọi người thường xuyên nhắc tới các hành tinh, các nguyên tử, và ADN, thì không hề có ai nói với bạn về những ý tưởng đầy quyến rũ của toán học hiện đại, như các nhóm đối xứng, những hệ thống số mới lạ mà trong đó 2 cộng 2 không phải lúc nào cũng bằng 4, và những hình dạng hình học đẹp đẽ như các diện Riemann. Điều này cũng chẳng khác gì họ cứ chỉ cho bạn chú mèo con và nói rằng con hổ nhìn cũng giống như thế. Nhưng thực tế thì con hổ là loài khác hẳn. Tôi sẽ chỉ cho bạn thấy toàn bộ vẻ đẹp lộng lẫy của toán học, và bạn sẽ học được cách thưởng thức “tính đối xứng kinh khiếp” của nó, như lời lẽ đầy hoa mỹ của thi sĩ William Blake.

Đừng hiểu sai ý tôi: việc đọc cuốn sách này tự thân nó sẽ không giúp bạn trở thành một nhà toán học. Cũng không phải tôi khuyên mọi người nên trở thành nhà toán học. Mà hãy nghĩ như thế này: học một ít hợp âm sẽ giúp bạn có thể chơi kha khá một số bài hát bằng một cây guitar. Nó sẽ không giúp bạn thành nghệ sĩ guitar cừ khôi nhất thế giới, nhưng nó sẽ làm cuộc sống của bạn phong phú thêm. Trong cuốn sách này, tôi sẽ cho bạn thấy vài hợp âm của toán học hiện đại mà bạn chưa từng biết đến. Và tôi cam đoan nó sẽ làm cuộc sống của bạn phong phú hơn, thật đấy.

Một trong những người thầy của tôi, Israel Gelfand vĩ đại, thường nói rằng: “Mọi người nghĩ rằng họ không hiểu gì về toán cả, nhưng đó hết thảy đều do cách bạn giải thích cho họ. Nếu bạn hỏi một người say rượu con số nào lớn hơn, 2/3 hay 3/5, anh ta sẽ không thể trả lời được. Nhưng nếu bạn đặt lại câu hỏi: cái nào tốt hơn, 2 chai vodka cho 3 người hay 3 chai vodka cho 5 người, anh ta sẽ nói ngay với bạn đáp số đúng: 2 chai cho 3 người, dĩ nhiên rồi.”

Mục tiêu của tôi là giải thích những điều như vậy bằng những từ ngữ mà các bạn có thể hiểu được.

Tôi cũng sẽ nói về những trải nghiệm của tôi trong quá trình trưởng thành ở Liên Xô cũ, nơi toán học đã trở thành một tiền đồn của tự do trong bối cảnh một chế độ toàn trị. Tôi đã bị từ chối vào học ở Đại học Tổng hợp Quốc gia Moscow bởi những chính sách phân biệt chủng tộc của Liên Xô. Các cánh cửa đã đóng sầm trước mặt tôi. Lúc ấy, tôi là một sinh viên bị ruồng bỏ. Nhưng tôi không đầu hàng. Tôi đã lẻn vào trường để nghe giảng và tham dự seminar. Tôi tự đọc sách toán, đôi khi rất khuya. Và cuối cùng, tôi đã đột phá qua được hệ thống đó. Họ không cho tôi vào qua cửa trước thì tôi bay vào qua cửa sổ. Khi bạn đang yêu, ai có thể ngăn cản được bạn?

Hai nhà toán học lỗi lạc đã đỡ đầu và trở thành những người thầy hướng dẫn tôi. Dưới sự dìu dắt của họ, tôi bắt đầu nghiên cứu toán học. Tôi vẫn là một sinh viên đại học, nhưng tôi đã đẩy xa được đường biên của những địa hạt chưa biết. Đó là thời kỳ hưng phấn nhất của đời tôi, và thậm chí tôi vẫn làm như thế mặc dù chắc chắn rằng chính sách phân biệt chủng tộc sẽ không bao giờ cho phép tôi trở thành một nhà toán học trong xã hội Xô viết.

Nhưng đã xảy ra một điều bất ngờ: những công trình toán học đầu tiên của tôi được mang lén ra nước ngoài và đã được biết đến, sau đó tôi được mời tới Đại học Harvard làm giáo sư thỉnh giảng ở tuổi hai mươi mốt. Thật kỳ diệu, điều đó lại xảy ra đúng vào thời điểm perestroika (cải cách) ở Liên Xô đã vén bức màn sắt, và công dân được phép ra nước ngoài. Vậy là tôi đã có mặt ở đó, đứng trên bục giảng của Đại học Harvard mà chưa có bằng tiến sĩ, nghĩa là lại phá vỡ hệ thống một lần nữa. Tôi tiếp tục con đường học thuật của mình, con đường đã dẫn dắt tôi nghiên cứu ở tuyến đầu của Chương trình Langlands và cho phép tôi tham gia vào một số tiến bộ quan trọng trong lĩnh vực này trong suốt 20 năm nay. Trong những chương tiếp theo đây, tôi sẽ mô tả những thành quả chói lọi ấy của các nhà khoa học lỗi lạc cũng như những gì xảy ra đằng sau nó.

Đây cũng là một cuốn sách về tình yêu. Trước kia, tôi từng mường tượng ra một nhà toán học tìm kiếm “công thức của tình yêu”, và điều này đã trở thành tiền đề của bộ phim Rites of Love and Math (Những nghi thức của tình yêu và toán học) mà tôi sẽ nhắc tới ở phần cuối cuốn sách. Mỗi khi tôi trình chiếu bộ phim luôn có ai đó hỏi rằng: “Liệu có thực sự tồn tại một công thức cho tình yêu hay không?”

Tôi đáp rằng: “Mọi công thức mà chúng ta phát hiện đều là công thức của tình yêu.” Toán học là suối nguồn của những kiến thức sâu sắc phi thời gian, chúng đi vào bản chất của vật chất và thống nhất chúng ta qua các nền văn hóa, các lục địa, và các thế kỷ. Tôi ước mong sao tất cả chúng ta đều có thể nhìn thấy, yêu mến, và kinh ngạc trước vẻ đẹp thần thánh cùng sự hài hòa thanh nhã của những ý tưởng, công thức, và phương trình, bởi chúng sẽ mang lại thêm rất nhiều ý nghĩa cho tình yêu giữa chúng ta với nhau và với thế gian này.